Contoh Situasi
Melambung dadu sebanyak 3 kali
Cari kebarangkalian mendapat nombor "5"
Cari kebarangkalian mendapat nombor "5"
- a) 3 kali
![]() |
Penerangan
Kita tahu sudah kebarangkalian untuk mendapatkan '5' pada satu lambungan ialah
Kita tahu sudah kebarangkalian untuk mendapatkan '5' pada satu lambungan ialah ![]() ![]() ![]() ![]() |
- b) 0 kali
![]() |
Penerangan
Tiada kali berjaya, bermaksud setiap kali pun
Tiada kali berjaya, bermaksud setiap kali pun tidak berjaya, iaitu
Tiada kali berjaya, bermaksud setiap kali pun tidak berjaya, iaitu tiga kali tidak berjaya
Setiap kali lambungan dilakukan, kebarangkalian TIDAK mendapatkan '5' pada lambungan tersebut adalah
Setiap kali lambungan dilakukan, kebarangkalian TIDAK mendapatkan '5' pada lambungan tersebut adalah ![]() ![]() |
- c) 1 kali
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
Penerangan
Bilangan lambungan masih lagi
Bilangan lambungan masih lagi tiga
Jika hanya 1 kali berjaya, bermakna
Jika hanya 1 kali berjaya, bermakna 2 kali tidak berjaya
Kebarangkalian 1 kali berjaya
Manakala, kebarangkalian 2 kali tidak berjaya
Kedua-dua ini perlu
Kedua-dua ini perlu didarab, jadi boleh biarkan tulis begini sebab ada sudah kurungan
Tetapi situasi manakah yang kita akan dapat berjaya 1 kali?
Mungkin berjaya kali pertama tapi gagal
Mungkin berjaya kali pertama tapi gagal di dua yang seterusnya
Mungkin juga
Mungkin juga gagal dulu baru berjaya kemudian gagal
Atau berjaya pada kali ketiga
Perhatikan untuk ketiga-tiga kes,
Perhatikan untuk ketiga-tiga kes, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Formula Taburan Binomial
Untuk situasi
Simbol yang biasanya digunakan
- peristiwa diulang beberapa kali
- setiap kali, kebarangkalian "berjaya" adalah tetap
- Perhatikan soalan TIDAK akan menyebut perkataan binomial, kita yang perlu pastikan soalan memenuhi kriteria di atas sebelum mengunakan formula di bawah
Simbol yang biasanya digunakan
- bilangan kali diulang →
- kebarangkalian berjaya untuk setiap ulangan →
- kebarangkalian tidak berjaya untuk setiap ulangan →
atau terus
-
bilangan kali berjaya daripada
kali ulangan/percubaan
Penerangan
Pertama sekali, kita perlukan satu cara ringkas untuk mewakili kebarangkalian berjaya ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Kebarangkalian berjaya ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Contoh 1

Cari kebarangkalian berjaya
- a) 2 kali
Penerangan
Sebenarnya, walaupun sudah ada formula, lebih senang kita buat dari pemahaman.
Tulis dahulu apa yang dikehendaki soalan
Kemudian bahagian pertama
Berjaya
Berjaya 2 kali, setiap kali kebarangkaliannya
Berjaya 2 kali, setiap kali kebarangkaliannya 0.4
Berapa kalikah tidak berjaya?
Berjaya 2 kali daripada 5 kali, jadi tidak berjaya
Berjaya 2 kali daripada 5 kali, jadi tidak berjaya 3 kali (iaitu 5-2)
Jadi tidak berjaya 3 kali, setiap kali kebarangkaliannya
Jadi tidak berjaya 3 kali, setiap kali kebarangkaliannya 0.6
Jadi tidak berjaya 3 kali, setiap kali kebarangkaliannya 0.6 Ini kerana 1-0.4 =0.6 Kira dengan kalkulator Perhatikan bergantung kepada jenis kalkulator, biasanya tanda ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
- Nota tambahan
- Mengapakah bilangan kes diberikan oleh
?
- Bukankah melibatkan susunan?
- Sebenarnya yang berlaku disini berbeza dengan sebelum ini, di mana kita telah menyusun objek berlainan
- Di sini, setiap kejayaan/kegagalan tidak dianggap unik
- Kebetulan, formula bilangan susunan adalah
iaitu sama juga dengan
- Tetapi, boleh juga kita guna permahaman begini
- Ada
percubaan
- Kita perlukan
percubaan berjaya, jadi kita memilih
tempat daripada
tempat untuk berjaya.
- Bilangan memilih sememangnya
- Juga, selepas memilih tempat berjaya, secara otomatik tempat lain adalah yang tidak berjaya, jadi tidak perlu darab apa-apa lagi
- Ada
- Mengapakah bilangan kes diberikan oleh
- b) 1 kali
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
- c) 4 kali
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
- d) tiada kali
Penerangan
Tiada kali sini bermaksud
Boleh guna formula
Perhatikan ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
- e) setiap kali
Penerangan
Setiap kali di sini bermaksud
Boleh guna formula
![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
Contoh 2
Di suatu sekolah, 2 daripada 5 orang adalah perempuan
Nota tambahan
atau
a) 10 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian 3 daripadanya adalah perempuan a) 10 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian 3 daripadanya adalah perempuan a) 10 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian 3 daripadanya adalah perempuan a) 10 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian 3 daripadanya adalah perempuan a) 10 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian 3 daripadanya adalah perempuan a) 10 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian 3 daripadanya adalah perempuan |
Penerangan
Perhatikan maklumat 2 daripada 5 orang adalah perempuan perlu difahamkan betul-betul
Adakah bermaksud ada 2 perempuan? Ada 5 orang?
TIDAK. Ini adalah suatu cara untuk menyatakan
TIDAK. Ini adalah suatu cara untuk menyatakan NISBAH perempuan kepada keseluruhan
Iaitu, maklumat sebenarnya ialah
Iaitu, maklumat sebenarnya ialah ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Nota tambahan
- Bukankah bila kita memilih beberapa objek tanpa mengantikan, pilihan pertama akan mengubah kebarangkalian seterusnya?
- Sebenarnya YA, dan kebarangkalian adalah tidak tetap, jadi sebenarnya salah untuk menggunakan formula binomial di sini
- TETAPI soalan begini mengggangap bilangan pelajar di sekolah adalah sangat besar, contohnya 2000, berbanding bilangan yang dipilih (10), jadi kebarangkalian setiap kali boleh dianggap tetap
b) 8 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian kesemuanya adalah lelaki b) 8 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian kesemuanya adalah lelaki b) 8 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian kesemuanya adalah lelaki b) 8 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian kesemuanya adalah lelaki b) 8 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian kesemuanya adalah lelaki b) 8 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian kesemuanya adalah lelaki |
Penerangan
Perhatikan yang diminta sekarang adalah
Perhatikan yang diminta sekarang adalah lelaki, sedangkan kebarangkalian ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
b) 8 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian kesemuanya adalah lelaki b) 8 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian kesemuanya adalah lelaki b) 8 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian kesemuanya adalah lelaki |
Kita boleh buat dengan Kita boleh buat dengan kekalkan X sebagai bilangan perempuan Jadi p masih sama Soalan minta Bermaksud bilangan perempuan ialah Bermaksud bilangan perempuan ialah sifar Tapi jawapan tetap sama |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Julat
- Lebih besar daripada
- Lebih besar daripada
- Lebih kecil/kurang daripada
- Lebih kecil/kurang daripada
![]() ![]() → lebih besar atau sama dengan 3 ![]() → lebih besar atau sama dengan 3 ![]() → lebih besar atau sama dengan 3 → paling kecil pun 3 ![]() → lebih besar atau sama dengan 3 → paling kecil pun 3 ![]() → lebih besar atau sama dengan 3 → paling kecil pun 3 → sekurang-kurangnya 3 ![]() → lebih besar atau sama dengan 3 → paling kecil pun 3 → sekurang-kurangnya 3 ![]() → lebih besar atau sama dengan 3 → paling kecil pun 3 → sekurang-kurangnya 3 → minimum 3 ![]() → lebih besar atau sama dengan 3 → paling kecil pun 3 → sekurang-kurangnya 3 → minimum 3 ![]() → lebih besar atau sama dengan 3 → paling kecil pun 3 → sekurang-kurangnya 3 → minimum 3 → tidak kurang dari 3 ![]() → lebih besar atau sama dengan 3 → paling kecil pun 3 → sekurang-kurangnya 3 → minimum 3 → tidak kurang dari 3 |
Penerangan
Maksud sebenar adalah
Tetapi ada banyak lagi cara untuk menyatakan julat ini dan amat penting untuk tidak tersilap mentafsir pernyataan
Kita perlu faham dulu bahawa nilai-nilai yang boleh diambil di sini ialah
Kita perlu faham dulu bahawa nilai-nilai yang boleh diambil di sini ialah 3,
Kita perlu faham dulu bahawa nilai-nilai yang boleh diambil di sini ialah 3,4,
Kita perlu faham dulu bahawa nilai-nilai yang boleh diambil di sini ialah 3,4,5 dan sebagainya
Ini bermaksud, nilai ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() → lebih kecil atau sama dengan 3 ![]() → lebih kecil atau sama dengan 3 ![]() → lebih kecil atau sama dengan 3 → paling besar pun 3 ![]() → lebih kecil atau sama dengan 3 → paling besar pun 3 ![]() → lebih kecil atau sama dengan 3 → paling besar pun 3 → selebih-lebihnya 3 ![]() → lebih kecil atau sama dengan 3 → paling besar pun 3 → selebih-lebihnya 3 ![]() → lebih kecil atau sama dengan 3 → paling besar pun 3 → selebih-lebihnya 3 → maksimum 3 ![]() → lebih kecil atau sama dengan 3 → paling besar pun 3 → selebih-lebihnya 3 → maksimum 3 ![]() → lebih kecil atau sama dengan 3 → paling besar pun 3 → selebih-lebihnya 3 → maksimum 3 → tidak lebih dari 3 ![]() → lebih besar atau sama dengan 3 → paling kecil pun 3 → selebih-lebihnya 3 → maksimum 3 → tidak lebih dari 3 |
Penerangan
Maksud sebenar adalah
Tetapi ada banyak lagi cara untuk menyatakan julat ini dan amat penting untuk tidak tersilap mentafsir pernyataan
Kita perlu faham dulu bahawa nilai-nilai yang boleh diambil di sini ialah
Kita perlu faham dulu bahawa nilai-nilai yang boleh diambil di sini ialah 3,
Kita perlu faham dulu bahawa nilai-nilai yang boleh diambil di sini ialah 3,2,
Kita perlu faham dulu bahawa nilai-nilai yang boleh diambil di sini ialah 3,2,1 dan sebagainya
Ini bermaksud, nilai ![]() ![]() ![]() |
Jangan terkeliru!
Kurang daripada 3 | ![]() |
Tidak kurang daripada 3 | ![]() |
Sekurang-kurangnya 3 | ![]() |
Lebih daripada 3 | ![]() |
Tidak lebih daripada 3 | ![]() |
Selebih-lebihnya 3 | ![]() |
Minimum 3 | ![]() |
Maksimum 3 | ![]() |
Pengiraan
Jika ![]() Nilai-nilai ![]() |
→
→ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Penerangan
Perhatikan ![]() ![]() ![]() ![]() |
a) ![]() ![]() ![]() |
Penerangan
Nilai-nilai yang boleh diambil ![]() ![]() ![]() |
b) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Penerangan Nilai-nilai yang boleh diambil ialah Nilai-nilai yang boleh diambil ialah 2 Nilai-nilai yang boleh diambil ialah 2,3 Nilai-nilai yang boleh diambil ialah 2,3,4,5,6,7,8 Perhatikan ini bermaksud banyak pengiraan perlu dilakukan Ada cara yang lebih senang? Perhatikan kes 2,3,4,5,6,7,8 sudah Perhatikan kes 2,3,4,5,6,7,8 sudah merangkumi hampir semua kes yang mungkin Kita boleh senaraikan semua kes dahulu di bawah sebagai catatan Yang kita perlukan ialah Ini bermaksud yang TIDAK diperlukan Ini bermaksud yang TIDAK diperlukan hanya 2 kes Mengira 2 kes jauh lebih senang dari mengira 7 kes. Mengira 2 kes jauh lebih senang dari mengira 7 kes. Tapi apakah kaitan dua bahagian ini? Jumlah kebarangkalian untuk semua kes sepatutnya Jumlah kebarangkalian untuk semua kes sepatutnya 1 Jadi, kita boleh kira dengan Jadi, kita boleh kira dengan ambil 1 Jadi, kita boleh kira dengan ambil 1 tolak kes-kes yang Jadi, kita boleh kira dengan ambil 1 tolak kes-kes yang TIDAK diperlukan Kita perlu tolak Kita perlu tolak kedua-dua kes yang tidak diperlukan |
c) selebih-lebihnya 7 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Penerangan Pastikan tafsir soalan dengan betul dahulu Adakah ini melibatkan banyak kes? Ya, manakala bilangan kes yang TIDAK diperlukan Ya, manakala bilangan kes yang TIDAK diperlukan adalah sikit dan senang dikira Jadi kita guna 1 tolak |
d) tidak kurang 6![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Penerangan Pastikan tafsir soalan dengan betul dahulu Adakah ini melibatkan banyak kes? Bilangan kes yang diperlukan Bilangan kes yang diperlukan kurang dari yang tidak diperlukan Jadi, Jadi, TIADA sebab untuk guna 1 tolak Sebaliknya, terus sahaja |
Contoh 3
Penerangan
Pastikan tafsir semua maklumat dan soalan dahulu
Mula dengan
Tafsir soalan betul-betul
baru tentukan cara pengiraan
Memerlukan ![]() ![]() ![]() ![]() |
Di suatu sekolah, 40% pelajar memakai cermin mata. 6 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya 1 orang memakai cermin mata.
Di suatu sekolah, 40% pelajar memakai cermin mata. 6 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya 1 orang memakai cermin mata.
Di suatu sekolah, 40% pelajar memakai cermin mata. 6 orang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya 1 orang memakai cermin mata.![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Min dan sisihan piawai
Berapakah anggaran kali berjaya jika
Formula
a) ![]() ![]() ![]() |
Situasi ialah ada Situasi ialah ada 100 kali percubaan, setiap kali percubaan kebarangkalian berjaya Situasi ialah ada 100 kali percubaan, setiap kali percubaan kebarangkalian berjaya adalah 0.5, atau Situasi ialah ada 100 kali percubaan, setiap kali percubaan kebarangkalian berjaya adalah 0.5, atau 50%, atau Situasi ialah ada 100 kali percubaan, setiap kali percubaan kebarangkalian berjaya adalah 0.5, atau 50%, atau boleh dilihat sebagai separuh-separuh peluang untuk berjaya atau gagal. Jelas bahawa anggaran kali berjaya dari 100 kali ialah Jelas bahawa anggaran kali berjaya dari 100 kali ialah 50, Jelas bahawa anggaran kali berjaya dari 100 kali ialah 50, iaitu |
- b)
-
Formula
- Min,
- Formula ini jelas kalau melihat contoh-contoh di atas
- Sisihan piawai,
- Formula in perlu dihafal tanpa pemahaman pada masa ini
- Perhatikan varians,
Graf taburan binomial
Penerangan
X mengambil nilai-nilai
Untuk menggambarkan semua kebarangkalian yang diambil untuk nilai-nilai
Untuk menggambarkan semua kebarangkalian yang diambil untuk nilai-nilai ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
- → jumlah kebarangkalian
- Fakta ini boleh digunakan untuk menyelesaikan soalan-soalan di mana graf sudah dilukis tetapi ada nilai yang perlu dicari
-
- Iaitu, jika sudah ada graf/diberi graf dalam soalan, nilai kebarangkalian terus dibaca dari graf dan tidak perlu kira dari formula lagi
-