SPM : Fungsi Kuadratik - Maksimum/Minimum

• Nilai maksimum
  • nilai paling besar/tinggi
  • semua nilai lain lebih kecil berbanding nilai maksimum

• Nilai minimum
  • nilai paling kecil/rendah
  • semua nilai lain lebih besar berbanding nilai minimum

Jika sesuatu kuantiti

• a) sentiasa lebih besar atau sama dengan 4
  • 4 ialah nilai minimum
    • Ini kerana di sini ialah nilai paling rendah
• b) sentiasa lebih kecil atau sama dengan 3
  • 3 ialah nilai maksimum
    • Ini kerana di sini ialah nilai paling tinggi

• nilai sentiasa lebih besar atau sama dengan kosong
  • Analisis : Melihat jadual, seperti sebelum ini, nilai sentiasa positif tidak kira nilai adalah positif atau negatif. Nilai paling kecil yang mungkin adalah
•   untuk semua nilai
  • Kita boleh juga guna simbol matematik untuk mewakili "untuk semua nilai"
    • 
• mempunyai nilai minimum
  • ini berlaku bila
    • dapat dilihat dari
      • 
      • atau terus dari fakta bahawa

• Nota
  • Bandingkan keadaan ini dengan sebelum ini bila kita menyelesaikan ketaksamaan
    • Cth : Selesaikan
      • 
      • -- ini jawapan KHUSUS untuk soalan ini
  • Manakala untuk semua nilai
    • adalah SENTIASA benar

Analisis Apakah nilai terkecil  ? Adakah ianya bila  ? Mungkinkah nilai lebih kecil dari  ? Jika Nampaknya bukan nilai terkecil juga Melihat Apakah nilai yang akan memberikan nilai yang paling kecil? Nilai paling kecil ialah Nilai paling kecil ialah mengambil nilai bila nilai ialah mengambil nilai bila nilai ialah Apakah yang akan menjadikan kosong? Adakah 0 memang nilai terkecil? Bagaimana pula kalau bernilai negatif? Sememangnya sentiasa lebih dari kosong atau sama dengan kosong, tidak kira apa yang ada di dalam Bilakah akan mengambil nilai  ? Bilakah akan mengambil nilai  ? Bila mengambil nilai Bilakah akan mengambil nilai  ? Bila mengambil nilai Bilakah akan mengambil nilai  ? Bila mengambil nilai , iaitu bila Bilakah akan mengambil nilai  ? Bila mengambil nilai , iaitu bila Secara amnya, mempunyai nilai minimum , dan ini berlaku bila nilai mengambil nilai

→ nilai sentiasa lebih besar atau sama dengan kosong → nilai sentiasa lebih besar atau sama dengan kosong → mempunyai nilai → nilai sentiasa lebih besar atau sama dengan kosong → mempunyai nilai minimum → nilai sentiasa lebih besar atau sama dengan kosong → mempunyai nilai minimum      → ini berlaku bila → nilai sentiasa lebih besar atau sama dengan kosong → mempunyai nilai minimum      → ini berlaku bila

Contoh

• mempunyai
  • nilai minimum , bila

• mempunyai
  • nilai minimum , bila

• mempunyai
  • nilai minimum , bila

Operasi ke atas kuasa dua

• Bagaimana pula dengan  ?
• Perhatikan
  • 
  •  

• nilai sentiasa lebih besar atau sama dengan

• nilai sentiasa lebih besar atau sama dengan

• mempunyai nilai minimum
  • ini berlaku bila

• Bagaimana pula dengan  ?

• 

• nilai sentiasa lebih kecil atau sama dengan kosong

• mempunyai nilai maksimum
  • ini berlaku bila

Perhatikan

• 
•  

• 
•  

• 
•  

Boleh kaitkan dengan bentuk graf

• 
• 
  • Titik minimum

• 
• 
  • Titik maksimum

Juga

• 
•  
•  

• 
•  
•  

Cara paling baik ialah menandakan mana-mana sebagai mengambil nilai

a) mempunyai a) mempunyai a) mempunyai nilai minimum a) mempunyai nilai minimum bila a) mempunyai nilai minimum bila

Tandakan dulu Bilakah ini berlaku? Bilakah ini berlaku? Bila mengambil nilai

b) mempunyai b) mempunyai b) mempunyai nilai minimum b) mempunyai nilai minimum b) mempunyai nilai minimum bila

• c)
• mempunyai
  • nilai minimum bila

Tandakan Boleh lihat secara

d) mempunyai d) mempunyai d) mempunyai nilai minimum d) mempunyai nilai minimum d) mempunyai nilai minimum bila

• e)
• mempunyai
  • nilai minimum bila

Boleh dilihat dari Jadi Juga graf berbentuk

f) mempunyai f) mempunyai f) mempunyai nilai maksimum f) mempunyai nilai maksimum f) mempunyai nilai maksimum bila

• g)
• mempunyai
  • nilai maksimum bila
    • Perhatikan ianya berlaku bila
      • mengambil nilai kosong

• h)
• mempunyai
  • nilai maksimum bila

• i)
• mempunyai
  • nilai maksimum bila
    • Perhatikan nilai maksimum boleh dilihat dengan

• j)
• mempunyai
  • nilai minimum bila
    • Perhatikan nilai maksimum boleh dilihat dengan

• k)
• mempunyai
  • nilai maksimum bila

l) mempunyai l) mempunyai l) mempunyai nilai minimum l) mempunyai nilai minimum l) mempunyai nilai minimum bila

kerana kerana kerana bila bernilai kosong

m) mempunyai m) mempunyai m) mempunyai nilai maksimum m) mempunyai nilai maksimum m) mempunyai nilai maksimum bila

kerana kerana kerana bila bernilai kosong

n) mempunyai n) mempunyai n) mempunyai nilai minimum n) mempunyai nilai minimum n) mempunyai nilai minimum bila

kerana kerana kerana bila bernilai kosong

o) mempunyai o) mempunyai o) mempunyai nilai maksimum o) mempunyai nilai maksimum o) mempunyai nilai maksimum bila

kerana kerana kerana bila bernilai kosong

	Maks/Min		bila
	Min
	Maks
	Min
	Min
	Maks
	Maks
	Min
	Min
	Maks
	Maks
	Min
	Min
	Min
	Min
	Maks
	Maks
	Maks
	Maks
	Min
	Maks
	Min
	Maks
	Min
	Min
	Maks
	Maks
	Min
	Maks
	Maks
	Min
	Min
	Maks
	Min
	Maks

• Ditulis sebagai
  • ialah nilai maks/min
  • ialah nilai bila nilai maks/min tersebut

	Titik min
	Titik min
	Titik maks
	Titik maks
	Titik min
	Titik maks
	Titik min
	Titik maks
	Titik min
	Titik maks

Contoh Soalan

Perhatikan kita diberi persamaan DAN juga titik. Kita sudah lihat bahawa kita boleh dapatkan titik maks/min dari persamaan. Jadi paling baik senaraikan kedua-duanya supaya senang membuat perbandingan. Dapatkan titik dari persamaan berhati-hati Tulis semula yang diberi Jadi boleh bandingkan dan

a) , titik minimum a) , titik minimum a) , titik minimum a) , titik minimum a) , titik minimum a) , titik minimum a) , titik minimum

b) , titik minimum b) , titik minimum b) , titik minimum b) , titik minimum b) , titik minimum

c) c) c) c) c) c)

d) d) d) d) d) d)

e) , titik minimum e) , titik minimum e) , titik minimum e) , titik minimum e) , titik minimum e) , titik minimum

f) , titik minimum f) , titik minimum f) , titik minimum f) , titik minimum f) , titik minimum f) , titik minimum

g) , titik maksimum g) , titik maksimum g) , titik maksimum g) , titik maksimum g) , titik maksimum g) , titik maksimum g) , titik maksimum g) , titik maksimum (sebab maksimum)

Perhatikan garis mencancang/menegak melalui titik-titik Kesemua titik-titik ini mempunyai Kesemua titik-titik ini mempunyai koordinat- bernilai Maka, garis ini mempunyai persamaan Maka, garis ini mempunyai persamaan Manakala garis mengufuk/mendatar melalui titik-titik Kesemua titik-titik ini mempunyai Kesemua titik-titik ini mempunyai koordinat- bernilai Maka, garis ini mempunyai persamaan Maka, garis ini mempunyai persamaan

Paksi simetri Kita tahu garis ini mempunyai persamaan berbentuk

Paksi simetri Perhatikan juga bahawa dalam kes ini ada dua pintasan- Kita dapat lihat paksi simetri / titik maksimum berada di Kita dapat lihat paksi simetri / titik maksimum berada di tengah-tengah antara dua pintasan- tersebut

• Jika ada dua titik pintasan-,
  • Paksi simetri / Titik maksimum / Titik minimum berada di tengah-tengah antara dua titik tersebut

Bentuk : Titik min Paksi simetri :
Bentuk : Titik min Paksi simetri :
Bentuk : Titik maks Paksi simetri :
Bentuk : Titik maks Paksi simetri :

Contoh Soalan

a) , paksi simetri a) , paksi simetri a) , paksi simetri a) , paksi simetri

b) , paksi simetri b) , paksi simetri b) , paksi simetri b) , paksi simetri

c) c) c) c) c) c)

Dari graf pula Kita tahu paksi simetri/titik minimum Kita tahu paksi simetri/titik minimum berada di tengah antara dan Iaitu boleh dikira dari