SPM : Taburan Kebarangkalian - Taburan Normal

Cth: Histogram menunjukkan tinggi pelajar-pelajar lelaki dalam tingkatan 5

Penerangan Bentuk histogram sebegini kita biasa lihat untuk data-data seperti Bentuk histogram sebegini kita biasa lihat untuk data-data seperti tinggi, jisim dan sebagainya Perhatikan bilangan pelajar untuk sesuatu julat tinggi diberi oleh Perhatikan bilangan pelajar untuk sesuatu julat tinggi diberi oleh tinggi setiap histogram Manakala tinggi sebenar pelajar dibaca dari Manakala tinggi sebenar pelajar dibaca dari paksi mengufuk iaitu, pelajar tinggi di iaitu, pelajar tinggi di kawasan sebelah kanan pelajar rendah di pelajar rendah di kawasan sebelah kiri Perhatikan kebanyakkan data adalah di Perhatikan kebanyakkan data adalah di bahagian tengah, iaitu Perhatikan kebanyakkan data adalah di bahagian tengah, iaitu dekat dengan purata/min Manakala Ini bersetuju dengan pemerhatian kita di dunia sebenar, kebanyakkan pelajar berumur sama (sama jantina) mempunyai tinggi yang lebih kurang sama Ada beberapa sahaja orang yang jauh lebih tinggi, Ada beberapa sahaja orang yang jauh lebih tinggi, beberapa orang yang jauh lebih rendah Jika kita melukis satu garis licin melalui histogram ini

→ kebanyakkan dekat dengan min → kebanyakkan dekat dengan min → kebanyakkan dekat dengan min → sedikit mempunyai nilai sangat tinggi → kebanyakkan dekat dengan min → sedikit mempunyai nilai sangat tinggi → sedikit mempunyai nilai sangat rendah → kebanyakkan dekat dengan min → sedikit mempunyai nilai sangat tinggi → sedikit mempunyai nilai sangat rendah → kebanyakkan dekat dengan min → sedikit mempunyai nilai sangat tinggi → sedikit mempunyai nilai sangat rendah → berbentuk "loceng"

Penerangan Perhatikan graf adalah Perhatikan graf adalah bersimetri Nilai tengah ini adalah sama juga dengan Nilai tengah ini adalah sama juga dengan min, Nilai sebenar, samaada kecil atau besar , ditentukan Nilai sebenar, samaada kecil atau besar , ditentukan paksi mengufuk Untuk histogram, tinggi histogram mewakili frekuensi/bilangan Di sini, kita perlukan kebarangkalian dan akan dilihat dari Di sini, kita perlukan kebarangkalian dan akan dilihat dari luas di bawah graf

→ bersimetri pada min → bersimetri pada min → bersimetri pada min → nilai sebenar (kecil/besar) ditentukan paksi mengufuk → bersimetri pada min → nilai sebenar (kecil/besar) ditentukan paksi mengufuk → bersimetri pada min → nilai sebenar (kecil/besar) ditentukan paksi mengufuk → kebarangkalian dilihat dari luas di bawah graf

Min kecil vs Min besar (sisihan piawai sama)

Ingat bahawa nilai besar/kecil ditentukan paksi mengufuk

• min kecil → lebih kiri
• min besar → lebih kanan

• 

Sisihan piawai kecil vs Sisihan piawai besar (min sama)

Ingat bahawa sisihan piawai ditentukan berapa jauh data terserak antara satu sama lain

• Sisihan piawai kecil → banyak tertumpu dekat min

• Sisihan piawai besar → kurang tertumpu dekat min

• 
  • Perhatikan
    • Luas bawah graf perlu sama
    • S.p. tinggi mempunyai lebih data di kawasan kanan dan kiri
    • Jadi s.p. tinggi mempunyai kurang data di kawasan tengah dekat min

• Pengiraan kebarangkalian melibatkan pencarian luas di bawah graf, suatu proses yang sukar dibuat secara manual
• Kita lihat lagi bahawa bentuk graf dipengaruhi min dan sisihan piawai
• Oleh itu semua kebarangkalian dikira sekali untuk suatu taburan normal piawai, dan dimasukkan ke dalam satu jadual
• Kebarangkalian taburan normal yang bukan piawai dapat dicari dengan proses penukaran kepada yang piawai
• Apakah nilai min dan s.p yang patut dipilih untuk taburan normal piawai?

Untuk Taburan Normal Piawai

• Min,  
  • → supaya graf simetri pada paksi mencancang

• Sisihan piawai,  
  • → tidak dipilih 0, kerana akan bermakna semua data adalah sama

Sifat

• Luas di bawah graf menunjukkan kebarangkalian
• Jumlah luas =

• Graf adalah simetri pada paksi mencancang

Penerangan Ini bermaksud sebelah kanan 0 simetri dengan sebelah kiri 0 Apakah luas bahagian kiri dan bahagian kanan?

a) a) a) a) a) a) a)

Penerangan Nilai 1 adalah Nilai 1 adalah di kanan 0 Lukis garis mencancang dulu Soalan adalah Soalan adalah lebih besar, bermaksud ke Soalan adalah lebih besar, bermaksud ke kanan Sekarang lihat nota bawah di jadual yang disediakan Adakah bentuk begini yang ditunjukkan oleh jadual? Ya. Luas begini dikenali sebagai hujung atas, atau ekor atas Juga, kita boleh terus guna jadual kerana soalan sememangnya sudah dalam Perhatikan bahagian-bahagian jadual Mewakili nilai z Manakala bahagian dalam mewakili kebarangkalian Contohnya, kita tahu bahawa sepatutnya Contohnya, kita tahu bahawa sepatutnya mewakili separuh kanan, jadi kebarangkalian ialah Contohnya, kita tahu bahawa sepatutnya mewakili separuh kanan, jadi kebarangkalian ialah 0.5 Sememangnya itu yang ditunjukkan Apakah fungsi nombor nombor di atas? Adalah untuk Adalah untuk Adalah untuk Kita perlu cari untuk Kita perlu cari untuk 1 bemaksud 1 bemaksud Tulis di jawapan

b) b) b) b) b)

Penerangan Nilai 2 adalah Nilai 2 adalah di kanan 0, lebih jauh berbanding 1 tadi Soalan adalah Soalan adalah lebih besar, bermaksud ke Soalan adalah lebih besar, bermaksud ke kanan Memang ekor atas, boleh baca terus dari jadual Juga, bandingkan luas ini dengan yang sebelum ini Adalah lebih kecil Kita cari nilai dari jadual Berhati-hati jangan tersilap bilangan sifar Perhatikan sememangnya kebarangkalian sini lebih kecil daripada

c) c) c) c)

Penerangan Cuba lukis sendiri dahulu Memang ekor atas, boleh baca terus Bagaimana dengan tempat perpuluhan ketiga? Adakah bermaksud  ? Sudah tentu tidak Yang dimaksudkan ialah Tapi lebih senang guna kalkulator untuk hanya kira Tetapi jawapan sebenarnya

d) d) d) d) d)

Penerangan Nilai -1 adalah Nilai -1 adalah di kiri 0 Soalan adalah Soalan adalah lebih kecil, bermaksud ke Soalan adalah lebih kecil, bermaksud ke kiri Perhatikan ini adalah ekor bawah. Juga, jadual hanya berikan untuk nilai positif Tetapi kita tahu sifat simetri graf akan menyebabkan Iaitu luas sebenarnya sama dengan Kita juga boleh ingat sebagai, ekor atas positif Kita juga boleh ingat sebagai, ekor atas positif = ekor bawah negatif Ini bermaksud jawapan untuk soalan ini adalah

e) e)

Penerangan Cuba lukis sendiri dahulu Ekor bawah negatif, ada hubungan dengan

f) f) f) f) f) f)

Penerangan Nilai 1 adalah Nilai 1 adalah di kanan 0 Tetapi soalan kali adalah Tetapi soalan kali adalah lebih kecil, bermaksud ke Tetapi soalan kali adalah lebih kecil, bermaksud ke kiri Di manakah luas/kebarangkalianya? Jadual TIDAK memberikan luas/kebarangkalian ini terus, tapi Jadual TIDAK memberikan luas/kebarangkalian ini terus, tapi macam ada kaitan dengan ekor atas biasa? Iaitu kita ambil luas keseluruhan Iaitu kita ambil luas keseluruhan tolak luas ekor atas Luas keseluruhan ialah Luas keseluruhan ialah 1 Luas ekor atas Luas ekor atas cari di jadual seperti biasa

g) g) g)

Penerangan Cuba sendiri dahulu

h) h) h)

Penerangan Gambarajah Boleh kita samakan dengan Boleh kita samakan dengan luas keseluruhan tolak ekor bawah negatif Tapi kita tahu ekor bawah negatif Tapi kita tahu ekor bawah negatif = ekor atas positif Jadi terus

i) i)

Penerangan Cuba sendiri dahulu

j) j) j) j) j)

Penerangan Ingat bahawa paling senang difahami sebagai Ingat bahawa paling senang difahami sebagai di antara 0 dengan 1 Tandakan dulu Manakah luasnya? Lebih besar dari 0, jadi Lebih besar dari 0, jadi ke sebelah kanan 0 Lebih kecil dari 1, jadi Lebih kecil dari 1, jadi ke sebelah kiri 0 Sememangnya di antara dua nilai tersebut Bagaimanakah untuk mencari luas ini? Masih 1 tolak ekor atas? Iaitu 0.5 Iaitu 0.5 tolak ekor atas

k) k)

Penerangan Cuba sendiri dahulu Boleh juga terus lukis sebelah positif

l) l) l)

Penerangan Gambarajah Bagaimana mengira? Kita lihat sebenarnya hampir sudah seluruh graf, kecuali Kita lihat sebenarnya hampir sudah seluruh graf, kecuali ekor atas 2 Kita lihat sebenarnya hampir sudah seluruh graf, kecuali ekor atas 2 dan ekor bawah -1 Jadi, kita ambil Jadi, kita ambil 1 tolak Jadi, kita ambil 1 tolak kedua-dua ekor tersebut

m) m)

Penerangan Cuba sendiri dahulu Boleh juga darab 0.0228 dengan 2 baru ditolak

n) n) n)

Penerangan Gambarajah Bagaimana mengira? 1 tolak? 0.5 tolak? Ada kaitan dengan kedua-dua ekor? Iaitu ekor besar tolak ekor kecil

o) o)

Penerangan Cuba sendiri dahulu

• 
• Jika mempunyai min
• dan sisihan piawai
•  

Contoh
mengikut taburan normal dengan min 30 dan sisihan piawai 5. Cari

• a) Skor-z bagi
• Skor-z   

• b) Nilai yang memberikan skor-z
• Skor-z 
  • 
  • 
  • 

Penerangan Apakah langkah pertama? Apakah langkah pertama? Lukis? Apakah langkah pertama? Lukis? BELUM boleh Perlu tukar Perlu tukar X ke Perlu tukar X ke Z dahulu Manakala nilai lain perlu Manakala nilai lain perlu tolak min, Manakala nilai lain perlu tolak min, bahagi s.p. Mengapakah X tiba-tiba tukar kepada Z begini? Sebenarnya yang berlaku adalah Iaitu kita perlu buat benda yang sama kepada kedua-dua belah ketaksamaan seperti sebelum ini Kemudian Tapi boleh kita terus juga Ringkaskan Lepas itu Lepas itu baru lukis Selesaikan seperti sebelum ini

c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c)

Penerangan Cuba sendiri dahulu Jawapannya Jawapannya Lukis dahulu, JANGAN terus baca jadual Baru tentukan cara pengiraan

d) d) d) d) d) d)

Lukis

Penerangan Bentuk soalan ini yang paling mengelirukan, tetapi boleh dibuat jika berhati-hati dengan setiap perkara Perhatikan Adalah 0.3 di sebelah kanan atau kiri? Adalah 0.3 di sebelah kanan atau kiri? Kanan? Adalah 0.3 di sebelah kanan atau kiri? Kanan? SALAH. Kiri? Adalah 0.3 di sebelah kanan atau kiri? Kanan? SALAH. Kiri? SALAH juga. 0.3 di sini adalah 0.3 di sini adalah kebarangkalian 0.3 di sini adalah kebarangkalian, BUKAN nilai Ini bermaksud di graf, 0.3 mewakili Ini bermaksud di graf, 0.3 mewakili luas Jadi apakah yang perlu ditandakan di paksi mengufuk? Jadi apakah yang perlu ditandakan di paksi mengufuk? Tetapi kita tidak tahu nilai , Tetapi kita tidak tahu nilai , dan sebenarnya itu yang perlu dicari dalam soalan nanti Cara paling senang ialah Cara paling senang ialah buat anggapan dahulu, Cara paling senang ialah buat anggapan dahulu, kemudian lukis Cara paling senang ialah buat anggapan dahulu, kemudian lukis dan paling penting sekali Cara paling senang ialah buat anggapan dahulu, kemudian lukis dan paling penting sekali, semak samaada gambarajah logik ataupun tidak Kita cuba dulu anggapan bahawa bernilai positif /di kanan 0 Luas ke kanan/kiri? Rujuk balik SOALAN Jadi ke Jadi ke kanan Di manakah nilai 0.3? Adakah gambarajah logik? Luas yang dilukis sepatutnya Luas yang dilukis sepatutnya kurang dari 0.5, jadi Luas yang dilukis sepatutnya kurang dari 0.5, jadi memang betul gambarajah Ini bermakna anggapan awal kita bahawa z bernilai positif adalah Ini bermakna anggapan awal kita bahawa z bernilai positif adalah betul

a) a) a) a) a) a) a) a) a)

z bernilai positif

Penerangan Kita cuba dahulu macam tadi Luas ke kanan/kiri? Rujuk balik SOALAN Jadi ke Jadi ke kanan Di manakah nilai 0.7? Adakah gambarajah logik? TIDAK TIDAK. Luas yang dilukis sepatutnya kurang dari 0.5 Jadi apakah yang boleh dibuat? Kalau kita nampak luas ke kanan sepatunya kurang dari 0.5, bolehkah kita tukar ke luas ke kiri? Iaitu Gambarajah nampak logik, TETAPI Gambarajah nampak logik, TETAPI soalan mahukan lebih besar, Gambarajah nampak logik, TETAPI soalan mahukan lebih besar, kita TIDAK boleh ubah arah Jadi macam mana? Cuba fikir dulu. Cuba fikir dulu. Petanda : Cuba fikir dulu. Petanda : Apakah akan berlaku jika kita ubah nilai z? Sepatutnya : Ini bermakna anggapan awal kita bahawa z bernilai positif adalah Ini bermakna anggapan awal kita bahawa z bernilai positif adalah salah, Ini bermakna anggapan awal kita bahawa z bernilai positif adalah salah, dan sebenarnya bernilai negatif

b) b) b) b) b) b)

z bernilai negatif

Cuba sendiri dahulu Betul? Betul? Salah, JANGAN ubah soalan Begini? Begini? Salah, luas yang ditunjukkan sepatutnya lebih 0.5 Sepatutnya

c) c)

z bernilai negatif

Cuba sendiri dahulu

d)

z bernilai positif

Cari nilai z

Penerangan Kita perlu Kita perlu lukis gambarajah yang betul dahulu Adakah luas sebegini yang ditunjukkan oleh jadual? Adakah luas sebegini yang ditunjukkan oleh jadual? Ya Juga, jelas di sini nilai z adalah Juga, jelas di sini nilai z adalah positif Jadi kita gunakan jadual Begini? TIDAK. 0.1 adalah TIDAK. 0.1 adalah luas/kebarangkalian, jadi 0.1 sepatutnya di TIDAK. 0.1 adalah luas/kebarangkalian, jadi 0.1 sepatutnya di bahagian dalam jadual Iaitu, kita kena cari 0.1 di Iaitu, kita kena cari 0.1 di bahagian dalam Tetapi nilai di bahagian dalam ada 4 t.p, bermaksud kita cari Tetapi nilai di bahagian dalam ada 4 t.p, bermaksud kita cari 0.1000 Ada tepat-tepat 0.1000? Tiada, yang paling dekat Jadi perlu tolak lagi Perhatikan kita sepatutnya tolak Perhatikan kita sepatutnya tolak 3, tapi tidak ada, jadi yang terdekat ialah 2 ataupun 4 Jadi, yang perlu dibaca dari jadual adalah Dan nilai ini yang merupakan Dan nilai ini yang merupakan nilai z

a) a) a) a)

Penerangan Lukis dulu gambarajah yang betul Cuba sendiri dahulu dan pastikan gambarajah adalah logik Jelas bahawa nilai z adalah Jelas bahawa nilai z adalah negatif Paling baik buat catatan dahulu sebab senang terlupa tanda ini bila membaca jadual Kemudian, adakah kita terus mencari 0.8? TIDAK. Sebab luas yang ditunjukkan bukan ekor atas positif Lagipun, memang tidak akan dapat nilai 0.8 di dalam jadual kerana Lagipun, memang tidak akan dapat nilai 0.8 di dalam jadual kerana paling besar 0.5 Jadual menunjukkan luas Jadual menunjukkan luas ekor, apakah luas ekor dalam gambarajah? Perhatikan ini adalah ekor Perhatikan ini adalah ekor bawah negatif, tetapi kita tahu luas ekor bawah negatif sama dengan luas ekor atas positif Dalam erti kata lain, 0.2 Dalam erti kata lain, 0.2 boleh digunakan untuk cari dalam jadual, tetapi nilai z sebenar Dalam erti kata lain, 0.2 boleh digunakan untuk cari dalam jadual, tetapi nilai z sebenar adalah negatif Kita telah pun catatkan negatif tadi Baca dari jadual, Baca dari jadual, dari "dalam ke luar"

b) b) b) b) b)

Penerangan Cuba sendiri dahulu dan pastikan gambarajah adalah logik Dari gambarajah, nampak bahawa Baca dari jadual

c) c) c)

Penerangan Cuba sendiri dahulu. Jawapannya Jawapannya 1.675 Lukis z adalah z adalah positif Luas Luas tidak boleh dicari di jadual terus Baru baca dari jadual

d) d)

mengikut taburan normal dengan min dan sisihan piawai

Penerangan Apa beza soalan ini dengan yang sebelum ini? Perlu tukar kepada z dahulu Boleh lukis sudah Perhatikan yang sepatutnya ditandakan di paksi-z ialah Nilai yang dapat dibaca dari jadual akan menjadi Perlu selesaikan untuk k

a) a)

Penerangan Cuba sendiri dahulu. Jawapannya Jawapannya 9.284 Tukar ke z dahulu Lukis adalah adalah negatif Luas tidak boleh dicari di jadual terus

b)

• a) Jumlah 50. Kebarangkalian = 0.1
• Anggaran bilangan?
  • 

• b) Jumlah 200, bilangan 40.
• Kebarangkalian?
  • 

• c) Kebarangkalian = 0.2, bilangan 20
• Jumlah?
  • 

Katakan mewakili markah matematik di sebuah sekolah.
mengikut taburan normal dengan min dan sisihan piawai .

a) Cari kebarangkalian seorang pelajar yang dipilih secara rawak mempunyai markah di antara 50 hingga 90 a) Cari kebarangkalian seorang pelajar yang dipilih secara rawak mempunyai markah diantara 50 hingga 90 a) Cari kebarangkalian seorang pelajar yang dipilih secara rawak mempunyai markah diantara 50 hingga 90 a) Cari kebarangkalian seorang pelajar yang dipilih secara rawak mempunyai markah diantara 50 hingga 90

Penerangan Langkah paling penting adalah Langkah paling penting adalah mentafsirkan apa yang dikehendaki soalan Teruskan seperti sebelum ini Cuba sendiri dahulu. Jawapannya Cuba sendiri dahulu. Jawapannya 0.7249 Tukar ke Z dahulu Lukis Tentukan cara mengira dan baca dari jadual Pastikan sememangnya jawab apa yang diminta soalan

b) Pelajar yang mendapat markah lebih dari 40 dianggap lulus. Jika jumlah pelajar adalah 700, berapakah pelajar yang lulus? b) Pelajar yang mendapat markah lebih dari 40 dianggap lulus. Jika jumlah pelajar adalah 700, berapakah pelajar yang lulus? b) Pelajar yang mendapat markah lebih dari 40 dianggap lulus. Jika jumlah pelajar adalah 700, berapakah pelajar yang lulus?

Penerangan Langkah paling penting adalah Langkah paling penting adalah mentafsirkan apa yang dikehendaki soalan Apakah maklumat penting yang diberikan? Kita tahu bilangan pelajar boleh dikira dengan mengambil Kita tahu bilangan pelajar boleh dikira dengan mengambil kebarangkalian lulus Kita tahu bilangan pelajar boleh dikira dengan mengambil kebarangkalian lulus darab dengan jumlah Sudahkah kita ada kebarangkalian lulus? Sudahkah kita ada kebarangkalian lulus? Belum, jadi kira dahulu Cuba kira sendiri dahulu. Jawapan kebarangkaliannya Cuba kira sendiri dahulu. Jawapan kebarangkaliannya 0.9087 Sudah habis? Sudah habis? Sudah jawab soalan? Boleh diterima bilangan orang begini?

c) Pelajar yang mendapat markah lebih dari diberikan hadiah. 5% pelajar diberi hadiah. Cari nilai . c) Pelajar yang mendapat markah lebih dari diberikan hadiah. 5% pelajar diberi hadiah. Cari nilai . c) Pelajar yang mendapat markah lebih dari diberikan hadiah. 5% pelajar diberi hadiah. Cari nilai . c) Pelajar yang mendapat markah lebih dari diberikan hadiah. 5% pelajar diberi hadiah. Cari nilai .

Penerangan Apakah yang dikehendaki soalan? Apakah maklumat yang diberi? Cuba kamu tafsirkan maklumat ini kepada suatu persamaan Begini? Begini? Salah. 5% ini adalah Begini? Salah. 5% ini adalah kebarangkalian Jadi sepatutnya 5% ini di Manakala julat X adalah Selepas itu boleh selesaikan seperti sebelum ini Cuba kira sendiri dahulu. Jawapannya Cuba kira sendiri dahulu. Jawapannya 85 markah

Katakan mewakili jisim pelajar di sebuah sekolah yang mempunyai 500 orang

• Kebarangkalian seorang pelajar lebih berat dari 60 kg
• →

• Anggaran pelajar yang lebih berat dari 60 kg
• →

• Diberi 60% daripada pelajar lebih berat dari kg
• →

• Diberi 200 pelajar kurang dari kg
• →

• → Taburan normal akan diberitahu dalam soalan, binomial biasanya tidak
• → Taburan binomial, amat penting untuk bezakan dengan