SPM : Persamaan Kuadratik - Pemfaktoran

• 
• Apakah nilai-nilai yang memenuhi persamaan tersebut?
  • Apakah nilai yang bila dikuasa-duakan akan menjadi  ?
  • 
    • Ada lagi yang lain?
• Punca - punca :

• 
• Punca - punca :

• 
• Punca - punca : Tiada punca nyata
  • Ada nilai biasa yang bila dikuasa-duakan akan jadi negatif? Tiada.
  • Kita sebut tiada punca nyata. Adakah ini bermaksud ada nilai "tidak nyata" yang memenuhi persamaan tersebut? :-)

Contoh

Diberi bahawa ialah satu punca untuk persamaan . Cari nilai .

• Analisis : Punca ialah nilai yang memenuhi persamaan, jadi kita terus ganti ke dalam persamaan
  • 
  • 

• Jika
• Apakah nilai-nilai yang mungkin?

Nampaknya, jika , boleh mengambil apa-apa nilai
Nampaknya, jika , boleh mengambil apa-apa nilai
Mungkinkah kedua-duanya bukan kosong?
Hasil darab dua nilai positif bukan sifar sememangnya tidak akan jadi sifar. Mungkin kita cuba nilai negatif?
Tidak juga. Mungkin ambil nilai yang kecil?
Memang semakin kecil, tetapi masih tidak sifar

• Jadi kita PASTI bahawa samaada ATAU

• Jika ,
  • Bolehkah kita buat kesimpulan yang sama? Kenapa?
  • 
    • Betul?
  • Bolehkah  ?
    • Ya.
    • Tetapi adakah kita PASTI atau  ?
    • Mungkinkah kedua-duanya BUKAN  ?
  • 
    • Bermaksud tidak semestinya salah satu ialah
  • Ini bermaksud
    • Jika , tiada kesimpulan boleh dibuat.
  • Bagaimana dengan
    •  ?
    • Tiada kesimpulan juga boleh dibuat

Semak

Penerangan Apakah bentuk persamaan di atas? Dua benda didarab, hasilnya sifar Jadi Jadi kita boleh terus buat kesimpulan bahawa Jadi kita boleh terus buat kesimpulan bahawa samaada "benda pertama" sifar, Jadi kita boleh terus buat kesimpulan bahawa samaada "benda pertama" sifar, atau "benda" kedua sifar Selesaikan yang perlu Apakah maksud jawapan ini? Kenapa ada dua jawapan? Bagaimana menyemak jawapan? Perhatikan kita perlu menyemak kedua-dua jawapan secara berasingan

• 
•  
  • 
  • Perhatikan
    • 
    • Cuba beri jawapan terus untuk soalan seterusnya

• 
•  

• 
•  
  • Walaupun sebenarnya kita nampak ada satu jawapan sahaja, tetapi boleh biarkan sebagai dua jawapan yang sama di sini. Dua punca ini akan dikenali nanti sebagai dua punca yang sama

• 
•  
  • Pada tahap ini, boleh kita tulis sebagai satu jawapan sahaja jika soalan ialah "selesaikan" (kecuali jika soalan minta "punca-punca").

• 
•  
  • 
  • 

• 
• Boleh cuba terus bagi jawapan?
•  

• 
•  

• Jika
• Adakah
  •  ?
  •  ?
• Belum boleh buat kesimpulan

• Perhatikan perbezaan besar antara langkah menyelesaikan persamaan linear dengan kuadratik

Linear	Kuadratik
kumpulkan yang ada di satu belah (yang tiada di belah yang lain)	jadikan satu belah sifar (memindahkan semuanya ke belah yang lain)

Selesaikan

Penerangan Melihat Adakah ini bermaksud sifar atau sifar? Tidak, , bukannya darab Jadi bagaimana kita boleh tukarkan ke bentuk darab? Jadi bagaimana kita boleh tukarkan ke bentuk darab? Faktorkan Melihat Ada FSTB Faktorkan Persamaan sudah dalam bentuk dua benda didarab sama dengan sifar Jadi selesaikan

a) a) a) a) Semak

• Jika , belum boleh buat kesimpulan

Penerangan Langkah pertama ialah Langkah pertama ialah pindah ke satu belah untuk menjadikan sebelah jadi sifar Faktorkan Selesaikan Adakah semak begini? Tidak. Semak setiap jawapan berasingan

b)

Penerangan Pindah dulu Bagaimana faktorkan? Selesaikan Jangan lupa semak

c)

• Atau

Penerangan Sebenarnya boleh terus selesaikan Kita tahu akan jadi Kita tahu akan jadi punca kuasa dua , tapi kita tahu sekarang sudah bahawa sebenarnya ada dua jawapan, satu positif dan satu negatif. Untuk mewakili positif atau negatif, kita boleh guna tanda Untuk mewakili positif atau negatif, kita boleh guna tanda Jadi Lebih baik tulis jawapan akhir berasingan

c)

Penerangan Begini? Masalahnya perlu mengabungkan pecahan selepas ini, sesuatu yang senang buat kesilapan Jadi lebih senang hapuskan pecahan dari awal Pindah Baru faktorkan dan selesaikan

d) d) d)

• Atau

Penerangan Kita tahu boleh selesaikan jika dalam bentuk Jadi kena pindah Iaitu Kemudian

d)

Bandingkan

• 
• 
• pula macam mana? Kita lihat balik proses pengembangan dahulu.

Kembangkan

Perhatikan dari mana setiap sebutan akhir itu datang Sebutan dari hasil darab sebutan dengan sebutan Sebutan pemalar datang dari hasil darab pemalar dengan pemalar Sebutan dalam datang dari hasil tambah dua hasil darab sebutan dengan pemalar

Perhatikan dari mana setiap sebutan akhir itu datang Sebutan dari hasil darab sebutan dengan sebutan Sebutan pemalar datang dari hasil darab pemalar dengan pemalar. Perhatikan kedua-dua pemalar negatif tapi hasil darab adalah positif. Sebutan dalam datang dari hasil tambah dua hasil darab sebutan dengan pemalar

Perhatikan dari mana setiap sebutan akhir itu datang Perhatikan hasil darab adalah negatif kerana satu positif, satu negatif Sebutan dalam datang dari hasil tambah dua hasil darab sebutan dengan pemalar

Perhatikan dari mana setiap sebutan akhir itu datang Sebutan dari hasil darab sebutan dengan sebutan Sebutan pemalar datang dari hasil darab pemalar dengan pemalar. Perhatikan ini tidak dipengaruhi oleh adanya pekali pada sebutan asal. Sebutan dalam datang dari hasil tambah dua hasil darab sebutan dengan pemalar

• Jadi dari contoh-contoh atas, kita melihat bahawa hasil pengembangan dalam bentuk boleh kita cuba faktorkan balik ke bentuk

Tulis sebagai hasil darab

• 
  • 
  • 

• 
  • 
  • 

• 
  • 
  • 
  • 
  • 

• 
  • 
  • 
  • 
  • 

Penerangan Kita tahu selepas difaktorkan, akan dalam bentuk Melihat Kita tahu Jadi kita perlu cari lagi Kita tahu hasil darabnya akan jadi Manakala hasil tambah dua hasil darabnya dengan sebutan di kurungan sebelah akan menjadi Jadi apakah dua nilai ini? Apakah dua nilai yang bila didarab akan jadi positif  ? Jadi apakah dua nilai ini? Apakah dua nilai yang bila didarab akan jadi positif  ? dan Adakah ini betul? Bagaimanakah kita menyemak pemfaktoran adalah betul? Pastikan kembangan jawapan akan beri balik soalan Sebutan dan pemalar betul Sebutan , iaitu sama dengan , jadi adalah betul Kita perhatikan di sini sebutan agak sukar dilihat terus Lagipun, mungkin perlu cuba beberapa kombinasi sehingga mendapat yang betul-betul memberikan yang asal Jadi kita perlukan satu cara yang lebih mudah/cepat/tepat. Cara ini paling baik ditulis di tepi sebagai langkah tambahan Oleh kerana susah melihat pendaraban dari kurungan kiri ke kanan, boleh kita menyusunnya Oleh kerana susah melihat pendaraban dari kurungan kiri ke kanan, boleh kita menyusunnya atas dan bawah Untuk menyemak Kita terus darab sebutan atas dengan sebutan yang bawah Untuk menyemak pemalar Kita terus darab sebutan pemalar atas dengan pemalar yang bawah Untuk sebutan , sebutan dari faktor pertama perlu darab pemalar dari faktor kedua Kita tulis hasil darabnya di tepi dahulu sebab Kita tulis hasil darabnya di tepi dahulu sebab masih perlu ditambah dengan satu lagi hasil darab Sebutan dari faktor kedua perlu darab pemalar dari faktor pertama Kedua-dua sebutan ini perlu dijumlahkan (bukan didarab) Iaitu pengembangannya sama dengan soalan (urutan berlainan tidak penting) Jangan lupa selesaikan Dan menyemak jawapan

a)

Langkah tambahan

Penerangan Terus faktor? Terus faktor? Belum tersusun lagi Apa darab apa akan berikan  ? Kita sudah cuba dan tadi, dan mendapat untuk sebutan Di sini, kita perlukan Perhatikan untuk mendapatkan , samaada kedua-duanya positif atau kedua-duanya negatif Jadi, kita cuba dan Oleh kerana hanya (tiada pekali) Cuba Sememangnya dapat Jadi barulah kita tulis faktor-faktornya Semak pada persamaan asal

b)

Langkah tambahan

Penerangan Perhatikan Perhatikan Jadi satu positif, satu negatif Manakala Manakala Jadi rasa-rasanya yang negatif, yang positif Memang dapat Selesaikan Semak pada persamaan asal

c)

• d)
• Cuba sendiri dulu dan pastikan semak jawapan
  • 

• e)
• Apakah faktor bagi  ?
  • darab
    • Tapi bolehkah dan memberikan  ?
    • Tidak, jadi kita cari faktor lain
  • Sepatutnya
    • 

• f)
• Cuba sendiri dulu dan pastikan semak jawapan
  • 

• g)
• Cuba sendiri dulu dan pastikan semak jawapan
  • Kita mungkin akan cuba
    • 
      • tetapi tidak dapat
      • teruskan cuba kombinasi lain
  • Sepatutnya
    • 

• h)
• Cuba sendiri dulu dan pastikan semak jawapan
  • 

• i)
• Cuba sendiri dulu dan pastikan semak jawapan
  • 

• j)
• Cuba sendiri dulu dan pastikan semak jawapan
  • 

• k)
• Begini?
  • 
    • akan merumitkan keadaan jadi paling baik hapuskan tanda negatif pada dahulu
  • Sepatutnya
    • 

Penerangan Perhatikan Jadi Untuk Hanya pilihan antaran dengan Sudah tentu pilih positif kerana melihat Betul. Jadi boleh selesaikan sudah.

l) l) l) l) l)

Langkah tambahan

• m)
• Kita mungkin akan cuba
  • 
  • Tetapi tidak dapat
  • Ada faktor lain bagi atau  ? tiada
  • Tukar tanda ke positif? Lagi jauh jawapannya
  • Adakah penting yang mana kita tulis di atas/di bawah?
  • Ya dalam kes ini
    • 
    • Perhatikan ini kerana sebutan tidak sama di atas dan bawah
  • 

• n)
• Cuba sendiri dulu dan pastikan semak jawapan
  • 

Penerangan Buat seperti contoh-contoh di atas? Perhatikan kesemuanya boleh dibahagi Jadi, samaada faktorkan atau terus bahagi dengan Perhatikan sebelah kanan juga perlu dibahagi tetapi tetap Selepas itu seperti biasa

o) o)

Penerangan Di sini pula, langkah pertama ialah Di sini pula, langkah pertama ialah menghapuskan pecahan dengan Di sini pula, langkah pertama ialah menghapuskan pecahan dengan darab persamaan dengan nombor yang sesuai Sebelah kanan juga didarab tetapi tetap Selesaikan

p)

Penerangan Di sini pula, langkah pertama ialah Di sini pula, langkah pertama ialah menghapuskan negatif pada dengan Di sini pula, langkah pertama ialah menghapuskan negatif pada dengan bahagi/darab persamaan dengan Sebelah kanan juga darab/bahagi negatif tetapi masih juga Perhatikan kesannya ialah semua sebutan bertukar tanda Kita juga boleh pindah semua ke sebelah yang akan memberikan kesan yang sama Selesaikan

q)

Sebelum pemfaktoran

• Jadi kita lihat ada beberapa kes di mana kita perlu buat sesuatu (selain pindah dan susun) sebelum kita faktorkan

• Tidak perlu

• Bahagi dengan

• Bahagi dengan

• Bahagi dengan

• Tidak perlu

• Bahagi/darab dengan negatif

• Bahagi dengan

• Bahagi dengan negatif

Langkah-langkah Langkah pertama Langkah pertama hapuskan pecahan Seterusnya, adakah ini persamaan linear atau kuadratik? Melihat Kuadratik, jadi perlu Kuadratik, jadi perlu susun dalam bentuk Bermaksud Bermaksud perlu dikembang Manakala Manakala perlu dipindah Seterusnya Seterusnya hapuskan negatif pada pekali dulu Seterusnya Seterusnya, faktorkan Faktor : Yang manakah agak-agaknya boleh memberikan  ? Seterusnya selesaikan Semak pada persamaan asal