SPM : Indeks dan Logaritma - Logaritma

Keperluan untuk tatatanda log
Kita mungkin tertanya

• 
  • Maksud soalan ini ialah, 3 kuasa apa, yang jadi 9
  • Iaitu, kita sedang mencari kuasa/indeks
  • Kita perlukan satu cara supaya jawapannya di sebelah kanan. Dalam kes ini, maksudnya indeks akan ditulis di sebelah kanan
  • 
  • Tatatanda yang dicipta memerlukan maklumat
    • iaitu asas-nya
    • DAN iaitu nilai-nya
    • Juga dua maklumat ini mesti terpisah dan di kedudukan yang berbeza
  • Tatatanda yang telah dicipta ialah
    • 
  • Apakah sebenarnya maksud  ?
    • kuasa apa menjadi
    • Perhatikan
      • 
    • Juga, perhatikan di sini merupakan suatu simbol keseluruhan, seperti juga ,
      • 
        • TIDAK bermaksud darab
        • TIDAK bermaksud darab darab

• 
  • 

Secara amnya,

• 
  • 
  • Cara senang memahami tatatanda log ialah melihatnya begini
    • Asas :
    • Kuasa :
    • Menjadi :

Bentuk Indeks	Bentuk Log
	Asas : Kuasa/Indeks : Nilai :
	Asas : Kuasa/Indeks : Nilai :
Asas : Kuasa/Indeks : Nilai :

• Walaupun kita akan belajar beberapa formula yang boleh digunakan untuk mencari nilai-nilai di bawah, adakalanya lebih cepat jika kita mencari nilai log daripada definisinya

• 
  • Ianya bermaksud kuasa apa akan menjadi  ?
  • Jadi
    • 
  • Iaitu
    • 
    • Kuasa
    • Akan jadi

• 
  • 
    • Ini kerana
      • 
      • Kuasa
      • Akan jadi

• 
  • ialah kuasa apa?
  • 

• 
  • ialah kuasa apa? Punca kuasa, iaitu yang juga boleh ditulis sebagai
  • 
  • Kita dapat lihat contoh ini dan yang di atas sukar sedikit untuk melihat kuasanya secara terus jadi kita akan gunakan formula untuk contoh begini pada masa depan

• 
  • kuasa apa yang akan jadi  ?
  • 
  • Analisis
    • kerana
    • pula ? kerana
    • kerana
    • Secara amnya kerana

• 
  • Apakah soalannya? kuasa apa akan jadi  ?
  • 
  • Analisis
    • Bagaimana dengan nombor lain?
    •   kerana
    • kerana
    • Secara amnya kerana

Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan

Penerangan Apa yang kamu perhatikan tentang operasi untuk formula ini? Apakah formula yang pernah kita nampak dari darab menjadi tambah? Apakah formula yang pernah kita nampak dari darab menjadi tambah? Jadi, mungkin formula log ini sebenarnya berasal dari formula indeks tersebut Kita kaji ada apa pada formula ini dulu Apakah maksud  ? Apakah maksud  ? kuasa apa akan jadi Di sini kita tidak tahu nilai kuasa tersebut, jadi kita Di sini kita tidak tahu nilai kuasa tersebut, jadi kita biarkannya menjadi satu anu lain , contohnya Jadi langkah pertama dan Kita sudah nampak mungkin ada kaitan dengan hukum indeks, jadi kita Kita sudah nampak mungkin ada kaitan dengan hukum indeks, jadi kita tukar ke bentuk indeks dulu Macam tidak boleh buat apa-apa sudah, jadi lihat balik kepada formula yang perlu dibuktikan merujuk kepada merujuk kepada kuasa apa menjadi Jadi lebih senang kita cuba tengok sahaja dulu Apakah yang kita boleh buat dengan  ? Kita nampak sekarang Jadi hampir sudah dengan formula Bezanya formula yang perlu dibuktikan dalam bentuk log, jadi langkah seterusnya Bezanya formula yang perlu dibuktikan dalam bentuk log, jadi langkah seterusnya tukar kepada bentuk log Kaji dengan teliti Asas Indeks/Kuasa Nilai Maka Sedikit sahaja lagi, apakah dan sebenarnya? Sudah terbukti Analisis terakhir : Sememangnya dan merupakan formula yang sepadan. Pembuktian hanya memerlukan beberapa pengubahsuaian bentuk, tetapi apakah langkah yang paling penting mengaitkan dua formula ini sebenarnya? Kerana di situlah kita telah menggunakan formula indeks tersebut

Buktikan

• Cuba buktikan formula ini sendiri.
  • Petunjuk : Langkah-langkah lebih kurang sama dengan yang di atas, dan formula indeks yang akan digunakan adalah
  • 

Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan

Penerangan Perhatikan Iaitu tiada dan sudahpun digunakan Jadi kita biarkan menjadi Jadi kita biarkan menjadi (dan bukannya ) Juga Jadi kita akan mencari selepas itu Mulakan dengan Tukar ke bentuk indeks Cari apa yang perlu Apakah yang boleh dibuat dengan  ? Langkah seterusnya sepatutnya Langkah seterusnya sepatutnya menukarkan kepada bentuk log Bagaimana tukarkan ke bentuk log sedangkan kedua-duanya ada indeks? Perhatikan di formula akhir, Perhatikan di formula akhir, keseluruhannya merupakan nilai Iaitu Maka Apakah  ? Kita hanya boleh menggantikan sahaja Kita hanya boleh menggantikan sahaja Adakah akan menjadi  ? Tidak, sebab akan kelihatan seperti iaitu darab dulu baru dicari log Sedangkan sepatutnya jadi baru darab dengan Jadi apa cara menulis supaya lebih jelas? Jadi apa cara menulis supaya lebih jelas? Boleh guna kurungan, Tetapi lagi memudahkan untuk letak di depan iaitu Tetapi lagi memudahkan untuk letak di depan iaitu . Perhatikan jelas disini maksudnya darab dengan Jadi Perhatikan Perhatikan bertukar dari kuasa kepada darab. Sememangnya darab adalah lebih senang dikira berbanding dengan kuasa. Jadi formula ini adalah amat berguna, tetapi dengan syaratnya MESTI sudah dalam bentuk log

Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan Buktikan

Penerangan Apakah yang berubah? Asas telah berubah Rasanya mula dari kanan atau kiri? Dalam kes ini, lebih senang mulakan dari kiri. Perhatikan ada dua Jika kita menukar bentuk indeks ke bentuk log biasanya hanya ada satu log Juga, dalam tidak ada pun Jadi, dalam kes ini, kita perlu "memperkenalkan" kepada kedua-dua belah Adakah ini bermaksud kita mendarab kedua-dua belah dengan  ? TIDAK. Ingat bahawa adalah suatu simbol Contoh yang lebih jelas ialah dan juga di mana kita bukan mendarab/membahagi kedua-dua belah persamaan, tetapi oleh kerana sebelah kiri sama dengan sebelah kanan, nilai punca kuasa tiga/ kuasa nilai tersebut adalah juga sama Jadi yang kita sebenarnya sedang buat di sini adalah iaitu nilai kiri dan kanan sama, jadi nilai log-nya (dengan asas yang sama) juga adalah sama Apakah langkah seterusnya? Apakah yang sedang kita cari sebenarnya? yang telah kita samakan dengan Melihat Apakah yang kita boleh buat dalam situasi begini? Ada kuasa dan juga dalam bentuk log sudah Jadi Seterusnya Apa itu sebenarnya?

• Analisis formula
  • Formula ini berguna bila kita perlu menukar asas log
  • Cara tersenang untuk menggunakan formula ini adalah
    • Langkah 1 :
    • Langkah 2 :
    • Langkah 3 :
      • Jangan terkeliru yang mana yang di atas dan yang mana di bawah

Buktikan

• Apakah yang berubah?
  • 
    • Asas, tetapi berbanding formula di atas, ianya bertukar kepada asas yang sama dengan
      • berbanding yang merupakan apa-apa asas
  • Perlukah kita membuktikan dari definisi lagi? Tidak, kita boleh menggunakan formula di atas
  • Langkah 1: Kita tulis dahulu asas yang baharu
    • 
  • Langkah 2: Atas
    • 
  • Langkah 3: Bawah
    • 
  • Apakah yang boleh ditukar?
  • 
  • Analisis
    • Formula ini membenarkan kita saling tukar asas dengan nilai dengan cepat
      • 
      • Nota: Formula yang sebelum ini juga masih boleh digunakan jika terlupa formula ini
  • Juga, formula ini adalah logik dari segi indeks (ingat bahawa nilai log sebenarnya adalah indeks) jika kita melihat contoh
    • 
      • Asas dengan nilai saling bertukar, perhatikan indeks-nya
    • 
      • Asas dengan nilai saling bertukar, perhatikan indeks-nya

• Perhatikan sebelah KIRI mempunyai bentuk ( log sesuatu )

Penukaran Asas

•  

• atau

•  

Kes khas

•  

•  

Adakah betul?

• 
  • TIDAK
  • 
    • Bermaksud nilai log yang bahagi 2
  • 
    • Bermaksud nilai yang bahagi 2 kemudian baru dicari log.
  • Jadi sememangnya berbeza

• 
  • TIDAK
  • 
    • bermaksud nilai log bahagi nilai log

• 
  • Betulkan? Bahagi menjadi tolak?
  • TIDAK
    • akan sama dengan
    • dan bukannya

• 
  • TIDAK
    • Jangan cipta formula sendiri yang tidak sah. :-)

• 
  • TIDAK
  • 
    • Darab dulu baru dicari nilai log
  • 
    • Dua nilai log didarab

• 
  • TIDAK

Perhatikan

• 
  • TIDAK boleh ditukar kepada bentuk lain.
  • Sudah tentu BUKAN
    • Jangan cipta formula sendiri!
  • Sebab kita tidak boleh buat apa-apa di sini adalah kerana kita tidak boleh buat apa-apa bila ada

• 
  • TIDAK boleh ditukar kepada bentuk lain.
  • Sudah tentu BUKAN
    • Jangan cipta formula sendiri!
  • Sebab kita tidak boleh buat apa-apa di sini adalah kerana kita tidak boleh buat apa-apa bila ada

Sekali lagi, perhatikan

• 
• 
• 
  • Sebelah kiri mempunyai bentuk
  • Sebelah kanan mempunyai sebutan-sebutan dan

Contoh 1

Diberi dan .
Ungkapkan yang berikut dalam sebutan dan .

a)

Penerangan Analisis : adalah log-log untuk secara berasingan. Analisis : adalah log-log untuk secara berasingan. Jadi, langkah pertama ialah Analisis : adalah log-log untuk secara berasingan. Jadi, langkah pertama ialah "memecahkan" soalan kepada log-log yang tunggal Kemudian baru tukar kepada yang dikehendaki Tidak ada apa-apa lagi yang boleh dibuat/dipermudahkan

• b)
  • 
  • 

• c)
  • 
    • BETUL? SALAH
      • bermaksud
  • Sepatutnya
  • 
    • 
    • 
  • ATAU
  • Kita juga boleh terus lihat
    • 
    • 
      • di bawah, jadi dibahagi, jadi log ditolak
    • 
      • di bawah, jadi dibahagi, jadi log ditolak

• d)
  • Kita ada , jadi yang perlu ditukar dahulu ialah
  • 
    • 

• e)
  • Perhatikan hanya untuk
  • 
  • atau terus
    • 

• f)
  • 
  • atau
  • 

• g)
  • Perhatikan untuk keseluruhan
  • 

• h)
  • 

Lengkapkan

• 
  • Kita juga boleh menggunakan formula untuk mencari nilai ini (berbanding terus dengan definisi)
  • 
    • 
    • 
      • Kerana sama dengan

• 
  • 
    • 
    • 

• 
  • 
    • 
    • 

• 
  • Dapatkah ditulis dalam bentuk asas  ?
    • Tidak begitu mudah. Sebaliknya dan kedua-duanya asas
  • Tukar ke asas
    • 
      • 
  • Atau terus
    • 

• 
  • sukar dicari tetapi senang. Jadi tukar ke asas 3
  • 

Contoh 2

Diberi dan . Ungkapkan yang berikut dalam sebutan dan .

• a)
  • Kita perlu tukarkan kepada gabungan
    • dan
    • Operasi yang boleh kita guna ialah darab, bahagi dan kuasa sahaja. Ini kerana operasi tersebut yang mempunyai formula. Tiada formula untuk tambah/tolak
  • 
    • 
    • 

• b)
  • 
    • 

• c)
  • 
    • 
    • 

• d)
  • 
    • 
    • 
    • 

• e)
  • Dapatkah didapati dari operasi dengan dan sahaja?
  • Kita tahu . Mari kita cuba dahulu
  • 
    • Dapatkah nilai dicari? Ya
  • 
    • Jadi nampaknya bukan sahaja dan boleh digunakan tetapi juga (iaitu asas)

• f)
  • 
    • 
    • 
    • 

• g)
  • Perpuluhan sebenarnya merupakan pecahan
  • 
    • 
    • 
    • 

• h)
  • 
    • Paling senang guna kalkulator untuk terus tukar perpuluhan kepada pecahan termudah
    • 
    • 

• i)
  • Masalah utama ialah
    • 
    • jadi tukar ke asas yang dikehendaki DAHULU
  • 
    • 

• j)
  • 
    • 
    • 
    • 

Kita sudah boleh menyelesaikan persamaan indeks, jadi jika ada persamaan log, langkah paling penting ialah

• Menukar persamaan log ke persamaan indeks
  • 
    • 

Selesaikan

• a)
  • Tukar ke persamaan indeks berhati-hati
    • 
  • Selepas itu boleh diselesaikan sudah
    • 
  • Semak
    • Ingat, sebarang soalan "selesaikan" patut disemak dengan menggantikan jawapan balik ke persamaan asal.
      • Walaubagaimanapun, dalam kes ini, nilai tidak boleh dikira terus oleh kalkulator
      • Sebaliknya, kita guna formula untuk tukar ke log asas 10
      • 

• b)
  • Tukar bentuk
    • 
  • Selesaikan
    • 
  • Semak
    • 

• c)
  • Tukar bentuk
    • 
  • Selesaikan
    • 
    • atau
    • 
  • Semak
    • 

Untuk menyemak dengan kalkulator, guna log asas 10

• 

Tukar ke bentuk

Contoh-contoh di atas hanya mempunyai satu sebutan log dan dalam bentuk yang tersedia untuk tukar ke bentuk indeks. Jika ada lebih dari satu sebutan atau bukan dalam bentuk dikehendaki, perlulah kita menukarkan dulu ke bentuk yang diperlukan

•  

•  

• 
  • Bukankah sudah hanya dalam satu sebutan?
  • Kita perlukan persamaan dalam bentuk
    • 
  • Jadi
    • tidak boleh di sana
  • Iaitu
    • 

• 
  • 

	Asas : Indeks : Nilai : Asas : Indeks : Nilai :
Asas : Indeks : Nilai : Asas : Indeks : Nilai :

a) a) a) a) Semak :

Penerangan Analisis Dua sebutan log Juga Pemalar/Nombor Langkah pertama ialah gabungkan Langkah pertama ialah gabungkan menjadi satu sebutan log tunggal di satu belah Adakah dalam bentuk sudah? Ya, jadi Ya, jadi tukar ke bentuk indeks BERHATI-HATI Selesaikan

b) b) b) b) Semak :

Penerangan Analisis Dua sebutan log di belah TIDAK sama Juga Pemalar Jadi langkah pertama ialah Jadi langkah pertama ialah pindah sebutan log ke satu belah, pemalar di belah yang lain. Lebih baik pindah ke kanan untuk mengelakkan negatif pada 2 Kita kumpulkan log supaya Kita kumpulkan log supaya boleh digabung Kita gabungkan log supaya Kita gabungkan log supaya boleh tukar ke bentuk indeks Kita tukar ke bentuk indeks supaya Kita tukar ke bentuk indeks supaya boleh selesai seperti biasa

• Ungkapkan dalam sebutan , jika
• Analisis : Walaupun nampak perkataan ungkapkan, soalan ini bukan jenis soalan sebelum ini yang memerlukan kita memecahkan log untuk menjadi sebutan pembolehubah lain. Sebaliknya diberi suatu persamaan, jadi kita mula dari sini dahulu
  • 
    • Sebutan log perlu disatukan, pekali 2 perlu hapuskan
  • 
  • 
    • Perhatikan diatas ditulis terus sebagai dan bukan untuk mempercepatkan langkah. Apapun langkah ini senang buat kesilapan jadi pastikan ianya betul.
  • 
    • baru kita susun semula (dan kira apa yang boleh) seperi yang dikehendaki

Adakalanya kita mendapat persamaan yang tidak mempunyai pemalar yang boleh dipindah ke satu belah.

• Jika
  • Perhatikan
  • Jadi secara logiknya
    • Nota
      • Ini disebabkan
        • merujuk kepada kuasa pada yang akan memberikan
        • merujuk kepada kuasa pada yang akan memberikan
        • Dan diberi dua nilai ini adalah, sama, jadi sudah tentu nilai dan juga adalah sama.
      • Dan BUKANNYA
        • seakan-akan bermaksud

Selesaikan

a) a) Semak

Penerangan Perhatikan dulu bahawa soalan ini tidak sesuai diselesaikan dengan cara sebelum ini kerana Perhatikan dulu bahawa soalan ini tidak sesuai diselesaikan dengan cara sebelum ini kerana sukar untuk disusun menjadi bentuk Bolehkah buat  ? Bolehkah buat  ? Sudah tentu tidak Sebaliknya, persamaan patut dalam bentuk sebelum kita boleh samakan benda yang di-log-kan Masalah utama ialah Selesaikan dengan Adakah sudah dalam bentuk  ? Adakah sudah dalam bentuk  ? YA Jadi Selesaikan

b) b) Semak

Penerangan Adakah sudah dalam bentuk  ? TIDAK Asas perlu disamakan dulu. Jadi tukar Asas perlu disamakan dulu. Jadi tukar yang asas 9 kepada 3 dahulu Bolehkah dibuat apa-apa? Bolehkah dibuat apa-apa? Agak sukar, jadi bagaimana kita nak hapuskan ini? Selepas ini seperti sebelum ini

• a) Diberi , ungkapkan dalam sebutan .
• 
  • log dipecahkan

• b) Selesaikan .
• 
  • susun ke bentuk
    • log digabungkan

• c) Diberi , ungkapkan dalam sebutan .
• 
• mula dengan persamaan (bukan pecahkan log-log)
  • susun ke bentuk

Selesaikan (jawapan betul kepada 3 t.p.)

a) a) Semak :

Penerangan Analisis Asas berlainan dan tidak dapat kita tukarkan kepada Masalah utama di sini ialah , tapi kita sudah tahu bahawa iaitu kuasa boleh "dibawa ke bawah" untuk didarab (yang sememangnya lebih senang pengiraannya daripada kuasa) tetapi kita hanya boleh berbuat begitu sekiranya dalam bentuk log Ini bermaksud kita perlu perkenalkan log kepada kedua-dua belah. Asas apa yang kita akan guna? Kalkulator kita hanya boleh kira secara terus Jadi Ingat tujuan utama kita tukar kepada log supaya kuasa boleh "dibawa" ke bawah Perhatikan bahawa adalah nilai-nilai yang boleh dikira dengan kalkulator, jadi langkah seterusnya adalah tidak berbeza dengan jika kita ada katakan Siap? Siap? Perlu semak juga Perhatikan kita tidak dapat tepat-tepat 3 kerana kita telah Perhatikan kita tidak dapat tepat-tepat 3 kerana kita telah bundarkan jawapan

• b)
  • Asas berlainan, perlu guna
  • 
  • 
  • 
    • kurungan adalah penting di sini
  • 
  • 
  • 
  • Semak
    • 

• c)
  • Asas berlainan, perlu guna
  • 
  • 
  • 
    • perhatikan
      • 
      • Tidak banyak berbeza dengan persamaan seperti
        • 
          • di mana kita perlu hapuskan kurungan dan kumpulkan sebutan di satu belah
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • Nota
    • Jika terlalu susah untuk memindahkah nilai-nilai log, boleh ditukarkan ke nilai sebenar sebelum perpindahan, iaitu
      • 
      • TETAPI pastikan gunakan lebih t.p. daripada yang dikehendaki dalam jawapan
  • Semak
    • 

• 
  • Asas sama, bentuk

• 
  • Asas tidak sama, tukar ke

• 
  • Asas tidak sama, ada tambah/tolak sebutan, pisahkan untuk ditambah
  • Nota : BUKAN tukar ke

• 
  • Asas sama, ada tambah/tolak sebutan, pisahkan untuk ditolak
  • Nota : BUKAN tukar ke